1章解説の索引です。第8版は関係有りません。

この章に参考となる書籍を紹介します。

(1)「<解析塾秘伝>有限要素法に必要な数学」,小村政則,2012,日刊工業新聞社.
定価(本体2,200円+税)

2016/09/02追記
(2)線形代数入門」有馬哲,1974,東京書籍.
古いですが、Amazonで中古でしかも安く手に入ります。1コイン強の価格です。
齋藤先生の本に挫けた人にお勧めです。

2016/09/05追記
(3)「計算力学　有限要素法の基礎(第2版)」竹内則雄,樫山和男,寺田賢二郎,2012,森北出版.
定価(本体3,400円+税)

この本は、標準問題集で参考文献として挙げられてますね。

2016/09/19追記
(4)「塾長秘伝 有限要素法の学び方!―設計現場に必要なCAEの基礎知識」CAE懇話会関西解析塾テキスト編集グループ (著), 小寺 秀俊 (監修),2011,日刊工業新聞社.
定価(本体2,400円+税)

2016/09/21 4点追記
(5)「構造解析のための有限要素法実践ハンドブック」岸 正彦 (著),2006,森北出版.

(6)「エンジニアのための有限要素法」P.トン (著), J.N.ロセトス (著), 矢川元基 (翻訳),1983,共立出版.

(7)「機械設計における有限要素法の活用」チャールズ・E. ナイト (著), Charles E. Knight (原著), 酒井 信介 (翻訳),1997,森北出版.

(8)「有限要素法概説―理工学における基礎と応用 (FEM+BEM (3))」菊地 文雄,1999,サイエンス社.

項目	ページ	参考書籍での扱い
1階微分	172	(1)124
1階微分	173	(1)124
1対1	169	(2)
2階微分	172	(1)127
2階微分	173	(1)127
Boundary value problem	171
divergence	171	(1)
div	171	(1)
Gauss-Green	171
gradient	171	(1)
grad	171	(1)144
h法	173	(7)91(h収束)
Initial value problem	171
k次収束	173
Lagrange	173
Laplacian	171	(8)18
div grad	171
Δ	173	(1)
Maclaurin	170
n次元空間	169
Poisson	173	(8)9
r法	173
Taylor	170	(8)8
アスペクト比	173	(5)40
アダプティブ法	173	(5)210
一次項	172
一次精度	172	(3)151
応力とひずみの関係式	172	(3)123応力-歪関係式
ガウス・グリーンの公式	171	(8)145(Greenの公式)
ガウス・グリーンの公式に派生する関係式	171	(3)24,(8)146(Gaussの公式)
重ね合わせ	173	(4)60
荷重境界条件	172	(3)125
幾何学的境界条件	172	(3)35,124
規格化	170	(7)217(基準化)
逆行列	169	(1)42,(2)(3)15
逆像	169	(2)
境界条件	171	(3)35,56,123
境界条件	172	(3)35,56,123
境界条件	173	(3)35,56,123
境界値問題	171	(3)26
境界値問題	173	(3)26
共通因数	169
行列	169	(3)11
行列	170	(3)11
行列式	169	(1)35,(2),(3)16
空間	173
計算コスト	173
厳密解	173
合成関数	171
構造解析	172
拘束条件	172	(3)56
剛体移動	172	(5)44,79
後退差分	172	(3)151
後退差分	173	(3)151
勾配	171	(1)143,(3)21,(4)108
誤差	173	(4)111
誤差指標	173
誤差モデル	173
固有値	170	(1),(2)
固有ベクトル	170	(1),(2)
固有方程式	170	(1)
コーシーの式	172
最適化	173
差分近似	172	(3)150差分法
三次元	172
支配方程式	172	(6)37
写像	169
写像	173
収束性	173
初期条件	171	(3)39
初期条件	172	(3)39
初期値	172	(3)26,43
初期値問題	171	(3)26,43
初期値問題	172	(3)26,43
数値解	173
スカラー	170	(1),(3)11
スカラー値関数	171
静解析	172
正則	169	(2),(3)15
正方行列	169	(1)30,(2)
節点	172	(1)3,(3)6,47,87,104,(4)39
節点配置	173
節点変位	172
線形写像	169	(2)
線形写像	173	(2)
線形弾性	172
線形弾性体	172	(1)
線形問題	173
全射	169	(2)
前進差分	172	(3)151
前進差分	173	(3)151
ソース項	173
値域	169	(2)
中央差分	172	(3)151中心差分
中央差分	173	(3)151中心差分
釣合い方程式	172	(3)31
テイラー展開	170	(4)151
テイラー展開	172	(4)151
テイラーの定理	170
ディリクレ境界条件	172	(1)p93ですが、ノイマンと逆の意味に記載されてますのでご注意。 (3)29,39
動的解析	172
二次精度	172	(3)151
二次精度	173	(3)151
熱伝導解析	172
ノイマン境界条件	172	(1)p93ですが、ディリクレと逆の意味に記載されてますのでご注意 (3)30,39
ノルム	173	(2)
発散	171	(1)146,(3)21,(4)108
微小量	172
ひずみと変位の関係式	172	(3)123
非線形問題	173	(4)136(非線形解析)
非定常	172
表面力	172	(3)35,123,124,(5)176
物体力	172	(3)31,122,185
不定	170
部分積分	171	(1)98,(4)114
ベクトル解析	171
ベクトル値関数	171
変位	172	(3)47
変位境界条件	172	(3)124
偏導関数	170
偏微分	171	(1)132
偏微分	172	(1)132
偏微分方程式	171
ポアソン方程式	173	(1)145,182,(3)26
方向余弦	172	(3)24,(4)91,92
マクローリンの定理	170
有限要素解の収束	173
有限要素法	172	(3)4,6,87,150,(4)11
要素サイズ	173
要素分割	173
ラグランジュ有限要素	173	(5)143
ラプラシアン	171	(1)145,(3)21
Δ	171	(1)145
力学的境界条件	172	(3)35,125
連立一次方程式	169	(2)
連立方程式	170

索引も作る事にしました。第8版との比較では有りません。

この章に参考となる書籍を紹介します。

(1)「<解析塾秘伝>有限要素法に必要な数学」,小村政則,2012,日刊工業新聞社.

(9)「有限要素法入門改訂版」三好俊郎,1994,培風館.

項目	ページ	参考書籍での扱い
アスペクト比	5
一次精度	4
1階微分	4	(1)124
応力	4	(9)104
応力成分	4
解	1
解	3
解析	3
ガウス・グリーンの公式	3
荷重境界条件	3
関数	2
境界	3
境界条件	3
境界値問題	3
境界値問題	5
行列	1
行列式	1	(1)35,(9)57
厳密解	5
構造解析	3
後退差分	4
誤差	5
固有値	1	(1)
固有ベクトル	1	(1)
座標系	2
三次元	4
収束性	5
初期条件	3
初期値問題	3
数値解析	3
スカラー	1	(1),(9)20
正則	1
静的	3
正方行列	1	(1)
節点	5	(1),(9)95,142,158
節点配置	5
線形	3
線形	4
前進差分	4
単位ベクトル	1
単位法線ベクトル	3
弾性	3	(9)102
弾性体	4	(9)102
力の釣合い方程式	4	(9)112,115,117(釣合い方程式)
中央差分	4
中央差分	5
テイラー展開	2
2階微分	5	(1)127
二次元	3
二次精度	4
場	3
微分	4
物体力	4
部分積分	3	(1)98
ベクトル	1	(9)19
ベクトル	3	(9)19
変位境界条件	3
偏微分	2
偏微分	3
偏微分方程式	3
ポアソン方程式	5
法線ベクトル	1
法線ベクトル	3
有界領域	3
有限要素解析	5
有限要素法	3	(9)3,157
要素	5
要素数	5
離散化	3
連立一次方程式	1

1章の解説を比較します。比較対象は、第8版。

第8版	第9版	解説第8版	解説第9版
1-1	1-1	(3刷)	全く同じ
1-2	1-2	(-)	全く同じ
1-3	1-3	(-)なお、テンソルの固有値、固有ベクトルについても全く同様の手続きで求める事が出来る	引用部削除
1-4	1-4	(-)	全く同じ
1-5	1-5	(3刷)	全く同じ
1-6	1-6	(3刷)	全く同じ
–	1-7(新規)初期値・境界値問題(Initial value problem/Boundary value problem)
–	1-8(新規)支配方程式
–	1-9(新規)1階微分の差分近似
–	1-10(新規)2階微分の中央差分近似
1-7	1-11	(3刷)	全く同じ
1-8	1-12	(3刷)	全く同じ
1-9(応力テンソル,主応力)	削除
1-10(仮想仕事の原理)	削除

 

所要時間は2分以内でした。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「2階微分f”」と「中央差分」です。後、選択肢を見ると右辺式の分母が2hの物とh²の物が有ります。

「2階微分f”」を、見事に見落としておりました。「1階微分」と思い込んでおり、分母が2hの物にのみ着目しておりました。解説を読んで初めてその事に気付きました。しかし「2階微分」に気づいていたとしても正解に辿り着けたかどうかは怪しいですね。

当然回答は間違っておりました。

解説を読んだ上での考察:

テイラー展開が出て来ます。f(x)のテイラー展開は普通「x=aの回りに」とか言う表現が必ず出て来たように思います。しかし今回の問題文には、解説にもそのような表現は出て来ません。その疑問を解くのは時間がかかりそうですので、一旦保留としておいて先に進みましょう。

O(h³)やO(h)という表現も出てきます。どうもこれは「ランダウの記号(別名オーダー記法)」と呼ぶらしいです。更に大文字のOと小文字のoと二種類有るようです。

話が少し脱線しますが、現在のインターネット時代は、このような調べものが数分で終わりますので、初学者に取っては天国のような時代ですね。その昔私が大学の1-2年生の頃は、教科書にしか書いてないし、しかもどの本を見れば書いて有るかどうかも分りませんでしたので、何となく曖昧な儘で終わらせました。小さな事ですが、こう言う事が勉学の意欲を削いだ物です。講義を担当している先生に聞けば良かったのですしょうが、何故か聞いた記憶が有りません。

話を元に戻します。以下のURLの方がWikipediaの「ランダウの記号」の項の説明より分り易いです。

解説で式(1)と式(2)を足してます。途中経過を補います。

f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h²f”(x)+ 2 O(h⁴)      (3)

O(h⁴)の定数倍の差は無視するので、

f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h²f”(x)+ O(h⁴)  (4)

更に移項して、

h²f”(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)-O(h⁴) (5)

-O(h4)の定数倍の差は無視するので、

h²f”(x)=f(x+h)-2f(x)+f(x-h)+O(h⁴) (6)

両辺をh²で割ると、

f”(x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h²+O(h⁴)/h² (7)

参考サイトにOの外から乗除した変数をOの中に入れても良いような式変形を見つけたので、それを施して解説の式に辿り着きました。

f”(x)=(f(x+h)-2f(x)+f(x-h))/h²+O(h²) (8)

今のは正攻法ですが、選択肢③と選択肢④から素早く正解を見つける方法について考えて見ましょう。③と④との違いは只一つ。f(x)の係数が-1か-2かです。

選択肢から逆向きに式変形をすると良いかも知れません。

④の両辺にh²を掛けます。

h²f”(x) ≒f(x+h)-2f(x)+f(x-h)={f(x+h)-f(x)} + {f(x-h)-f(x)}

{f(x+h)+f(x-h)}={f(x)+h²f”(x)/2}+{f(x)+h²f”(x)/2}

③の両辺にh²を掛けます。

h²f”(x) ≒f(x+h)-f(x)+f(x-h)={f(x+h)-f(x)/2} + {f(x-h)-f(x)/2}

{f(x+h)+f(x-h)}={f(x)/2+h²f”(x)/2}+{f(x)/2+h²f”(x)/2}

するとTayler展開の時のf(x)の係数を覚えておくという話になります。

良く覚えておきましょう。

2016/08/30修正及び追記。

所要時間は60秒でした。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のテーマは「1階微分の差分近似」で、ポイントは、「前進差分」、「後退差分」と「中央差分」です。後、選択肢を見ると「一次精度」と「二次精度」もポイントだと分かります。

式Aから式Cを見ると、分母が2hのものとhのものとが有ります。2hを見て[中央差分」が思い浮かぶようならしめたものです。

各式でfが2回登場しますが、それぞれの括弧の中には、x単独またはxとhを使用した式が登場します。Aにはf(x+h)(未来)とf(x)(現在)が登場します。Bにはf(x)(現在)とf(x-h)(過去)が登場します。

Cの式はf(x+h)(未来)とf(x-h)(過去)の両方が登場するので、直ちに中央差分の式と判断して良いと思います。この時点で、選択肢は①か②しか残りません。

因みに、

選択肢	前進差分	後退差分	中央差分
①	A(一次精度)	B(一次精度)	C(二次精度)
②	B(一次精度)	A(一次精度)	C(一次精度)
③	C(二次精度)	B(一次精度)	A(一次精度)
④	C(一次精度)	B(一次精度)	A(二次精度)

 

ところで中央差分は、二次精度です。これは知識として知っておいた方が良いです。従って、正しいのは、選択肢①だと分かります。

これが正解です。

一応式Aと式Bも見ておきます。fの括弧の中を見ます。A式はf(x+h)とf(x)です。xが現在、x+hが未来なので、前進差分と分かります。

式Bには、f(x)とf(x-h)が登場します。これは現在と過去ですから、後退差分です。いずれも一次精度です。

解説を読んだ上での考察:

この解説は良く読んで理解しておいて下さい。

所要時間は70秒でした。
ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「力の釣合い方程式」です。後穴埋め問題です。
(本当は、「線形弾性体」という部分も重要です。非線形理論においては使用する応力によっては対称でありません。1級を受験する人はこの知識は必要ですが、2級は参考程度ですね)

各式を見ると、分母が各式で同じ順に並んでません。

勘違いしそうです。

各式の3つの分母には、xyzが全て登場します。

第1式の分子は、左がσx=σxx、右がτzx。添え字の片方がxで固定という事が分りますから、現れて無い組み合わせは、yxです。従って空欄(A)の成分は、yxであるべきです。選択肢②と④の(A)が一致します。

第2式を見ます。真ん中が、τyz、右がτxyです。添え字の片方がyで固定という事が分りますから、現れて無い組み合わせは、yyです。従って空欄(B)の成分は、yyであるべきです。即ちσy。選択肢②と④のうちでは、②が一致します。
2016/09/05訂正:「(B)が一致」->「②が一致」

この時点で選択肢は②しか残りませんので、②を回答とします。

しかし一応第3式の(C)も見ておきます。左がσz=σzz、真ん中が、τzx。添え字の片方がzで固定という事が分りますから、現れて無い組み合わせは、zyです。従って空欄(C)の成分は、zyであるべきです。即ちτzy=τyz。選択肢②は、確かに(C)がτyzで一致します。

答えは合ってました。

解説を読んだ上での考察:

暗記しなくても理屈で解けますね。

所要時間は50秒でした。

ネタばれ注意です(正解を書きます)。

問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

先ず、「最も適切」な物を選択しろとの事なので、3つのXと1つ◯が有る筈です。

問題文中の「初期条件」、「境界条件」の2単語に着目します。

選択肢①:有限要素法による線形弾性の静的解析においては、初期条件は自動的に満足される。

「静的解析」であると分った時点で、「初期条件」は不要と判断出来ますのでX。

選択肢②:こちらも「静的解析」であると分った時点で、「初期条件」は不要と判断出来ますのでX。

選択肢③:有限要素法による構造解析においては、荷重境界条件と変位境界条件がある。

初期条件について言及が無い。特に間違った事は書いてないので、良さそうです。一応保留。

選択肢④:有限要素法による構造解析においては、境界条件を与えなくても解を得ることができる。

「境界条件を与えなくても解を得る」->論外でXです。

その結果回答は③が確定しました。正解でした。

③の言い方は、「何々がある」というだけでそれ以外には触れて有りません。何となく不安になりますが、間違いではありません。

解説を読んだ上での考察:

解説には「時間に関する境界条件はしばしば初期条件と呼ばれる」と有ります。問題文には、初期条件と境界条件は別物のように書いてありますので、一瞬ぎょっとしますが、言われてみればその通りです。しかしこの点を利用して引っ掛け問題を作れそうですね。

「動的」と「非定常」は実は全く同じ意味です。それ以外にも「過渡」という言い方も有りますが、同じ意味です。

 

 

1章の問題を比較します。比較対象は、第8版。

削除2問、新規4問(2016/8/13追記)

第8版	第9版
1-1	1-1
1-2	1-2
1-3	1-3
1-4	1-4
1-5	1-5
1-6	1-6
–	1-7(新規)初期値・境界値問題(Initial value problem/Boundary value problem)
–	1-8(新規)支配方程式
–	1-9(新規)1階微分の差分近似
–	1-10(新規)2階微分の中央差分近似
1-7	1-11
1-8	1-12
1-9(応力テンソル,主応力)	削除
1-10(仮想仕事の原理)	削除