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ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「主応力」と「正しいものはどれか」です。

3次元の主応力の公式は公式集に掲載されているだろうと思い、直ぐに探しに行きました。有りました。2.3.3の主応力の式に既知の応力成分を代入して行きます。

-σ³+(σ_x+σ_y+σ_z)σ²-(σ_yσ_z+σ_zσ_x+σ_xσ_y-τ_xy²-τ_yz²-τ_zx²)σ+σ_xσ_yσ_z-σ_xτ_yz²-σ_yτ_zx²-σ_zτ_xy²+2τ_xyτ_yzτ_zx=0　　(2.3.3)

与えられた数値を代入します。

-σ³+(0+0+0)σ²-(0+0+0-1-1-1)σ+0-0-0-0+2x1x1x1=0

-σ³+3σ+2=0

σ³-3σ-2=0　　　(2-19-1)

因数分解したい所ですが、思い付きません。

考え方を変えて、選択肢①からσに代入して行きます。

先ずは選択肢①のσ₁=3

3³-3×3-2=27-9-2=16≠0

駄目です。

選択肢②のσ₁=2

2³-3×2-2=8-6-2=0

これは解です。

同じくσ₂=σ₃=-1も確認します。

(-1)³-3x(-1)-2=-1+3-2=0

こちらも解です。

よって②が正解。三次式の場合、解は高々3個なので、他の選択肢は確認不要です。

解説を読んだ上での考察:

解説ではあっさり因数分解してます。3次式の因数分解ってどうやってやるんだろうと思いました。

ネットで検索したら、「因数定理」という物が有るようです。その昔勉強したんでしょうね。因数分解がさっと出来れば、全部の選択肢を試さなくても良い分、私の計算方法より若干早そうです。

因数定理をネットで調べて見ました。以下に分り易い説明が有ります。

http://www7a.biglobe.ne.jp/~mkun/Mathematics/factor.htm

ポイントは、xの多項式 f(x)に対して、f(a)=0 を満たすaが存在すればf(x)は(x-a)を因数に持つ。更にaの候補は定数項の約数である。

今式(2-19-1)に於いて定数項は、-2ですから、1,2,-1,-2が候補です。選択肢②で示したように、2を代入すると式が零になりますから、(σ-2)の因数が有ります。

(2-19-1)の左辺を変形して、無理やり(σ-2)を作ります。

σ³-3σ-2 = (σ-2)σ²+2σ²-3σ-2= (σ-2)σ²+2σ²-4σ+σ-2=(σ-2)σ²+2σ(σ-2)+(σ-2)=(σ-2)(σ²+2σ+1)

此処迄来れば、後は簡単な2次式の因数分解だけです。

(σ-2)(σ²+2σ+1)=(σ-2)(σ+1)²=0　　　(2-19-2)

本当に速いかどうかは微妙ですが、純粋な暗記に頼らない色んな手法を知っておく事は大事です。