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ネタばれ注意です(正解を書きます)。
問題文の全文引用はしません。自分で入手して読んで下さい。

問題文のポイントは、「ベルヌーイ・オイラーはり要素」、「任意点」及び「正しいものを選べ」です。

問題文に情報量が多いので、丁寧に読む必要が有ります。やはり選択肢を良く見比べれば、解答を得るのはそんなに難しく有りません。

各軸の向きを良く確認しましょう。それから、w(上にバー)の変数の意味は、「xにおけるyz断面の中立軸上の点におけるz方向変位」です。w(上にバー)はyとzに関しては定数です。

4つの選択肢を良く見比べました。先ず気に成ったのはuです。uはxに勿論依存しますが、中立軸から離れた点では中立軸上の点と異なる値を取ります(詳しくは解説を読んだ上での考察の中で)。従って選択肢①はu=0なので駄目です。

次にvに着目しますが、はり(正確にはベルヌーイ・オイラーはり)理論よりy方向には変位は変化しません。只、全ての選択肢でv=0なので、vでは絞り込みは出来ませんね。

次にwですが、これも全ての選択肢で同じです。uの違いだけで解答を決めて行く必要が有ります。uはベルヌーイ・オイラーはり理論より、wの勾配に比例する事が分っています。従って選択肢④は駄目です。

残るはuのz依存性です。中立軸上の点のみを考える場合は、zに依存しませんが、「任意点」ですので、これ又ベルヌーイ・オイラーはり理論よりzに比例します。

よって解答は選択肢③です。

解説を読んだ上での考察:

ベルヌーイ・オイラーはり理論の最大の胆は、解説に書いて有る通り、「ベルヌーイ・オイラーの仮定は、中立軸(中立面)に垂直な断面が、変形後も　平面を保ち、中立軸(中立面)に垂直であると考える事である」です。材力の教科書には図入りで説明してあると思いますので、図も見ながら理解して下さい。